Rust面试宝典第1题：爬楼梯

题目

        小乐爬楼梯，一次只能上1级或者2级台阶。楼梯一共有n级台阶，请问总共有多少种方法可以爬上楼？

解析

        这道题虽然是一道编程题，但实际上更是一道数学题，着重考察应聘者的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。

        当楼梯只有1级时，只有1种方法可以上楼。

        当楼梯有2级时，有两种方法可以上楼：一次跨1级，或者一次跨2级。

        对于大于2级的楼梯，我们可以选择从第n-1级跨1级，或者从第n-2级跨2级。所以，对于n级楼梯的方法数为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

        这种思考问题的方法就是递归的思想。下面，我们给出了用递归函数求解这道题的示例代码。

fn calc_upstairs_count(steps: u32) -> u32 {
    match steps {
        0 => 0,
        1 => 1,
        2 => 2,
        _ => calc_upstairs_count(steps - 1) + calc_upstairs_count(steps - 2),
    }
}

fn main() {
    println!("{}", calc_upstairs_count(0));
    println!("{}", calc_upstairs_count(1));
    println!("{}", calc_upstairs_count(2));
    println!("{}", calc_upstairs_count(3));
    println!("{}", calc_upstairs_count(4));
    println!("{}", calc_upstairs_count(5));
}

        可以看到，采用递归实现的代码非常简洁。但递归算法也有其缺点：一是递归的层级较多时，可能会导致堆栈溢出；二是递归算法的时间复杂度一般较高，效率较低。具体到本题，因为每次递归都可能产生两种选择，故时间复杂度为O(2^n)。计算n级台阶和n-1级台阶的方法数时，都会去计算n-2级台阶的方法数，从而导致大量的重复计算。

        有没有更好的解决问题的方法呢？答案是肯定的，我们可以通过动态规划算法来尝试一下。

        我们可以使用一个数组dp来存储每级楼梯的方法数，初始条件为：dp[1] = 1, dp[2] = 2。

        对于大于2级的楼梯，我们可以从第n-1级跨1级到达第n级，或者从第n-2级跨2级到达第n级。所以，dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]。

        这样，我们可以通过一次遍历，计算出所有楼梯级数的方法数。这种方法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度也为O(n)。下面，我们给出了用动态规划算法求解这道题的示例代码。

fn calc_upstairs_count(steps: u32) -> u32 {
    let mut dp = vec![0; (steps + 1) as usize];
    if steps >= 1 {
        dp[1] = 1;
    }

    if steps >= 2 {
        dp[2] = 2;
    }

    for i in 3..=(steps as usize) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    
    dp[steps as usize]
}

fn main() {
    println!("{}", calc_upstairs_count(0));
    println!("{}", calc_upstairs_count(1));
    println!("{}", calc_upstairs_count(2));
    println!("{}", calc_upstairs_count(3));
    println!("{}", calc_upstairs_count(4));
    println!("{}", calc_upstairs_count(5));
}

总结

        通过这道题，我们学会了用递归算法和动态规划算法来编程处理问题。递归算法的时间复杂度较高，动态规划算法的时间复杂度较低。

        学习了上面的示例代码后，你真的理解递归算法和动态规划算法了吗？我们为你留了一些课后的拓展作业，快来试一试吧！

        1、小乐爬楼梯，一次只能上1级台阶，或者2级台阶，或者3级台阶。楼梯一共有n级台阶，请问总共有多少种方法可以爬上楼？

        2、有长宽分别为1×1和1×2的小格子，现在要用这两种小格子拼接成1xN的大格子。请编写一个方法来计算一共有多少种拼接方案，N作为方法的唯一参数，返回值为拼接方案数。