数据库系统概论——关系代数详解 - 机房托管|北京机房租用|IDC机柜租用租赁|电信联通移动机房机柜|带宽租用-价格及费用咨询

文章目录

1、关系代数概述
- - 1.1 传统的集合运算
  - 1.2 专门的关系运算
  - - 1.2.1 选择运算
    - 1.2.2 投影（Projection）
    - 1.2.3 连接（Join）
    - 1.2.4 两类常用连接运算
    - 1.2.5 除（Division）

1、关系代数概述

关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是利用对关系的运算来表达查询的。

任何运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。

关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。

在关系代数运算中，有5种基本运算，它们是并（U）、差（—）、投影、选择、笛卡尔积（X），其它运算即交、连接和除，均可通过5种基本的运算来表达。

运算符：

集合运算符
- 将关系看成元组的集合
- 从关系的“水平”方向即行的角度来进行运算
专门的关系运算符
- 不仅涉及行而且涉及列
算术比较符
- 辅助专门的关系运算符进行操作
逻辑运算符
- 辅助专门的关系运算符进行操作

常见的关系运算符如下：

1.1 传统的集合运算

设关系

$R$ 和关系

$S$ 是相容的，

$t$ 代表元组变量，现将各种运算分别介绍如下：

（1）并（Union）

关系
结果关系是由属于

举例：

$R$ 和

$S$

具有相同的目
相应的属性取自同一个域

∪

R∪S

$R \cup S$

仍为
n

n

$n$ 目关系，由属于

R

R

$R$ 或属于

S

S

$S$ 的元组组成

具体如下图所示：

（2）交（ Intersection）

关系
结果关系由既属于

举例：

$R$ 和

$S$

具有相同的目
相应的属性取自同一个域

∩

R∩S

$R \cap S$

仍为
n

n

$n$ 目关系，由既属于

R

R

$R$ 又属于

S

S

$S$ 的元组组成

具体如下图所示：

（3）差（Difference）

关系R与关系S的差记作：

举例：

$R$ 和

$S$

具有相同的目
相应的属性取自同一个域

−

R – S

$R - S$

仍为
n

n

$n$ 目关系，由属于

R

R

$R$ 而不属于

S

S

$S$ 的所有元组组成

（4）广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）

两个分别为
元组的前 $k_1 k1个元组， S S S有 k 2 k_2 k2个元组，则关系 R R R和关系 S S S的广义笛卡尔积有 k 1 × k 2 k_1×k_2 k1×k2个元组。$
记作： $R×S={(a_1,a_2,…a_m,b_1,b_2,…b_n)| (a_1,a_2,…a_m) ∈R ∧ (b_1,b_2,…b_n) ∈ S}。$
$R \times S = {(a_{1}, a_{2}, \dots a_{m}, b_{1}, b_{2}, \dots b_{n}) ∣ (a_{1}, a_{2}, \dots a_{m}) \in R \land (b_{1}, b_{2}, \dots b_{n}) \in S} 。$

严格地讲应该是广义的笛卡尔积

$k_1 k1个元组$
$k_2 k2个元组$

R×S

$R \times S$

列:

m

+

n

m+n

$m + n$ 列元组的集合
- 元组的前
- 后
行：

k

1

×

k

2

k_1×k_2

$k_{1} \times k_{2}$ 个元组

具体如下图所示：

1.2 专门的关系运算

在讲解之前，我们先引入几个记号，这样有助于下面的理解，确实关系代数后半部分有点难理解。
（1）

R

,

t

∈

R

,

t

[

A

i

]

R,tin R,t[A_i]

$R, t \in R, t [A_{i}]$
设关系模式为

(

，

…

，

)

R(A_1，A_2，…，A_n)

$R (A_{1} ， A_{2} ， \dots ， A_{n})$ ，它的一个关系设为

$R$ ，

∈

tin R

$t \in R$ 表示

$t$ 是

$R$ 的一个元组，

[

]

t[A_i]

$t [A_{i}]$ 则表示元组t中相应于属性

A_i

$A_{i}$ 的一个分量。

（2）

⏞

overbrace{t_rt_s}

$t_{r} t_{s}$

，

$R$ 为

$n$ 目关系，

$S$ 为

$m$ 目关系。

∈

，

∈

，

⏞

t_rin R，t_sin S， overbrace{t_r t_s}

$t_{r} \in R ， t_{s} \in S ， t_{r} t_{s}$

称为元组的连接。

⏞

overbrace{t_r t_s}

$t_{r} t_{s}$

是一个

n + m

$n + m$ 列的元组，前

$n$ 个分量为

$R$ 中的一个

$n$ 元组，后

$m$ 个分量为

$S$ 中的一个

$m$ 元组。
（3）象集

Z_x

$Z_{x}$
给定一个关系

（

）

R（X,Z）

$R （ X, Z ）$ ，

$X$ 和

$Z$ 为属性组。当

[

]

t[X]=x

$t [X] = x$ 时，

$x$ 在

$R$ 中的象集（Images Set）为：

[

]

∣

∈

，

[

]

Z_x={t[Z]|t in R，t[X]=x}

$Z_{x} = t [Z] ∣ t \in R ， t [X] = x$

它表示

$R$ 中属性组

$X$ 上值为

$x$ 的诸元组在

$Z$ 上分量的集合。

举例如下：

上面抽象的例子可能并不是特别容易理解，那么我们就拿生活中的实际例子进行解释：

学生-课程-选修关系:
学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC

在上面的关系表中，我们可以把SC表看作一个关系R，它的属性组为学号，课程号以及成绩，即

(

)

R(Sno, Cno, Grade)

$R (S n o, C n o, G r a d e)$ 。这时我们将SC表与上面那个例子对比可以看出，Sno为200215121的学号在关系R（SC表）中的象集为

200215121

{

，

}

Sno_{200215121}={1，2，3}

$S n o_{200215121} = {1 ， 2 ， 3}$ ，以此类推，这样就比较容易理解一点。

1.2.1 选择运算

选择又称为限制
选择运算符的含义
- 关系R上的选择操作是根据某些条件对关系R做水平分割，即从行的角度选择符合条件的元组。
在关系R中选择满足给定条件的诸元组
- 记作：
F：选择条件，是一个逻辑表达式，取逻辑值“真”或“假”。
选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算

F：选择条件，是一个逻辑表达式

基本形式为： $X_1θY_1 X1θY1$
$X_1，Y_1 X1，Y1：属性名、常量、简单函数.$
属性名也可以用它的序号来代替；

以最上面的学生-课程-选修关系表举例说明更好理解：

[例1] 查询信息系（IS系）全体学生

′

(

)

或

′

(

)

σ_{Sdept} = ‘IS’ (Student) 或 σ_5 =’IS'(Student)

$σ_{S d e pt} =^{'} I S^{'} (St u d e n t) 或 σ_{5} =^{'} I S^{'} (St u d e n t)$

结果：

[例2] 查询年龄小于20岁的学生

$σ_{S a g e 20} (St u d e n t) 或 σ_{420} (St u d e n t)$

结果：

1.2.2 投影（Projection）

投影运算符的含义：

从R中选择出若干属性列组成新的关系
- $π_A(R) = { t[A] | t in R } πA(R)=t[A]∣t∈R$
- A：R中的属性列

投影操作主要是从列的角度进行运算：

但投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）

举例说明一下：
[例3] 查询学生的姓名和所在系
即求Student关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影

，

(

)

或

，

(

)

π_{Sname，Sdept}(Student) 或 π_{2，5}(Student)

$π_{S nam e ， S d e pt} (St u d e n t) 或 π_{2 ， 5} (St u d e n t)$

结果：

[例4] 查询学生关系Student中都有哪些系

(

)

π_{Sdept}(Student)

$π_{S d e pt} (St u d e n t)$

结果：

由此可见，使用投影操作可以将关系表中的列单独拿出来组成新的关系表，这样方便我们可以更加清楚的查看自己想要的信息。

1.2.3 连接（Join）

连接也称为

$θ$ 连接

连接运算的含义：
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组

连接运算从

和

R和S

$R 和 S$ 的广义笛卡尔积

R×S

$R \times S$ 中选取（

$R$ 关系）在

$A$ 属性组上的值与（

$S$ 关系）在

$B$ 属性组上值满足比较关系

$θ$ 的元组

举例说明一下：
[例5]关系R和关系S 如下所示：

1.2.4 两类常用连接运算

（1）等值连接（equijoin）

什么是等值连接?
- θ为“＝”的连接运算称为等值连接
等值连接的含义
- 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的
  那些元组，即等值连接为：
  
  举例说明：

（2）自然连接（Natural join）

自然连接是一种特殊的等值连接
- 两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组
- 在结果中把重复的属性列去掉
自然连接的含义
- R和S具有相同的属性组B

举例：

一般的连接操作是从行的角度进行运算。

自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。

1.2.5 除（Division）

给定关系

(

，

)

R (X，Y)

$R (X ， Y)$ 和

(

，

)

S (Y，Z)

$S (Y ， Z)$ ，其中

，

X，Y，Z

$X ， Y ， Z$ 为属性组。

$R$ 中的

$Y$ 与

$S$ 中的

$Y$ 可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。

$R$ 与

$S$ 的除运算得到一个新的关系

(

)

P(X)

$P (X)$ ，

$P$ 是

$R$ 中满足下列条件的元组在

$X$ 属性列上的投影：

元组在

$X$ 上分量值

$x$ 的象集

Y_x

$Y_{x}$ 包含

$S$ 在

$Y$ 上投影的集合，记作：

关于象集的概念我们在前面已经提到了，在此直接举例子说明除：

[例6]设关系

、

R、S

$R 、 S$ 分别为下图的(a)和(b)，

R÷S

通过上面的结果我们可以发现，关系

$R$ 中的

、

B、C

$B 、 C$ 属性组，和关系

$S$ 中的

、

B、C

$B 、 C$ 属性组的域都是相同的，

与

R与S

$R 与 S$ 的除运算得到了一个新的关系，我们将它当做

(

)

P(A)

$P (A)$ ，

$P$ 是

$R$ 中满足上述条件的元组在

$A$ 属性列中的投影。

分析：
设关系

，

R，S

$R ， S$ ,分别为例6中的(a)和(b)，

R÷S

$R$ 中

$A$ 可以取四个值

{

，

}

{ a_1，a_2，a_3，a_4},

${a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}},$ 其中：

$a_1 a1的象集为 { （ b 1 ， c 2 ） , （ b 2 ， c 1 ），（ b 2 ， c 3 ） } {（b_1，c_2）,（b_2，c_1），（b_2，c_3）} {（b1，c2）,（b2，c1），（b2，c3）}$
$a_2 a2的象集为 { （ b 3 ， c 7 ） , （ b 2 ， C 3 ） } {（b_3，c_7）,（b_2，C_3）} {（b3，c7）,（b2，C3）}$
$a_3 a3的象集为 { ( b 4 ， c 6 ) } { (b_4，c_6) } {(b4，c6)}$
$a_4 a4的象集为 { （ b 6 ， c 6 ） } {（b_6，c_6）} {（b6，c6）}$

$S$ 在

（

，

）

（B，C）

$（ B ， C ）$ 上的投影为

{

（

，

），（

，

）

（

，

）

}

{（b_1，c_2），（b_2，c_1）,（b_2，c_3）}

${（ b_{1} ， c_{2} ），（ b_{2} ， c_{1} ）, （ b_{2} ， c_{3} ）}$

显然只有

a_1

$a_{1}$ 的象集包含了

$S$ 在

(

)

(B,C)

$(B, C)$ 属性组上的投影，所以

{

}

R÷S={a1}

$R \div S = {a 1}$ 。

除操作是同时从行和列角度进行运算

📢博客主页：https://blog.csdn.net/m0_63007797?spm=1011.2415.3001.5343
📢欢迎点赞 👍 收藏 ⭐留言 📝 如有错误敬请指正！
📢本文由心无旁骛~ 原创，首发于 CSDN博客🙉
📢停下休息的时候不要忘了别人还在奔跑，希望大家抓紧时间学习，全力奔赴更美好的生活✨

文章目录

1、关系代数概述

1.1 传统的集合运算

1.2 专门的关系运算

1.2.1 选择运算

1.2.2 投影（Projection）

1.2.3 连接（Join）

1.2.4 两类常用连接运算

1.2.5 除（Division）

服务器托管，北京服务器托管，服务器租用，机房机柜带宽租用